Question

【题目】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c<0的解集；
（3）若方程ax2+bx+c+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，∵抛物线 与 轴两交点的横坐标分别为1和3，

∴方程 的两根为 ；

（2）解：如图，∵抛物线 位于 轴下方部分图象所对应的自变量的取值范围为： 或 ，

∴不等式 的解集为： 或 ；

（3）解：如图，可知点（1，0）、（3，0）在抛物线上，

∴ 抛物线的解析式为 ，

又∵点（2，2）在抛物线上，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为 ，

所以方程 可化为： ，

∵该方程有两个不相等的实数根，

∴△= ，解得 .

【解析】（1）观察函数图像，可知抛物线与x轴交于两点，这两点的横坐标就是对应的函数值为0时的自变量的值，即方程ax2+bx+c=0的两个根。
（2）要求不等式ax2+bx+c<0的解集，就是要求y＜0时自变量的取值范围，观察y＜0的图像，就是看x轴下方的图像即可求出结果。
（3）先观察函数图像可知点（1，0）、（3，0）（2，2）在抛物线上，设函数解析式为交点式，求出函数解析式，得出 2 x 2 + 8 x 6 + k = 0 ，再由该方程有两个不相等的实数根，得出b2-4ac＞0，建立不等式求解即可。
【考点精析】通过灵活运用求根公式和抛物线与坐标轴的交点，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．