Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；
（2）当t为何值时，△PQM是等腰三角形？
（3）以PM为直径作⊙E，在点P、Q整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得⊙E与BC相切？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理．

Answer 1

分析 （1）当四边形PQCM是平行四边形时，PM∥BC，得出AP=AM，列出方程，解方程即可；
（2）分类讨论：①若PQ=PM，作PO⊥AC于E，由平行线得出三角形相似，得出比例式，根据题意列出方程，解方程即可；
②若PQ=QM，作QN⊥AC于N，根据题意列出方程，解方程即可；
（3）当⊙E与BC相切时，切点为K，连接EK，则EK⊥BC；作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，根据梯形的中位线得出EK=$\frac{1}{2}$（PG+MH），PM=2EK，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）当四边形PQCM是平行四边形时，PM∥BC，
则△APM∽△ABC，BP=t，AM=2t，AP=10-2t，
∵AB=AC=10cm，
∴AP=AM，
∴10-t=2t，
解得：t=$\frac{10}{3}$；
即当四边形PQCM是平行四边形时，t=$\frac{10}{3}$；

（2）∵PQ∥AC，AB=AC，
∴BP=PQ=t；分类讨论：
①若PQ=PM，作PO⊥AC于E，如图1所示：
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴则$\frac{BF}{BD}=\frac{PQ}{AC}$，即$\frac{BF}{8}=\frac{t}{10}$，
∴BF=$\frac{4}{5}$t，
∴DF=8-$\frac{4}{5}$t，
又∵PO⊥AC，BD⊥AC，
∴PO∥BD，AD=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{PO}{BD}$，CD=4，
∴AO=6-$\frac{3}{5}$t，
∴OM=6-$\frac{3}{5}$t-2t=6-$\frac{13}{5}$t，
∵PM²=PO²+OM²，∴${（8-\frac{4}{5}t）^2}+{（6-\frac{13}{5}t）^2}={t^2}$，
整理得：8t²-55t+125=0，
∵b²-4ac＜0，
∴此方程无解；
②若PQ=QM，作QN⊥AC于N，如图1所示：
则QN∥BD，∴△CNQ∽CDB，
∴$\frac{CN}{CD}=\frac{QN}{BD}$，
∴CN=4-$\frac{2}{5}$t，
∴MN=10-2t-（4-$\frac{2}{5}$t）=6-$\frac{8}{5}$t，
∵QM²=QN²+MN²，
∴${（6-\frac{8}{5}t）^2}+{（8-\frac{4}{5}t）^2}={t^2}$，
解得t=10（舍），t=$\frac{50}{11}$；
③若PM=QM，则M是ON的中点，
∴OM=MN，
∴6-$\frac{8}{5}$t=$\frac{13}{5}$t-6，
解得：t=$\frac{20}{7}$；
∴当t=$\frac{50}{11}$或$\frac{20}{7}$时，△PQM是等腰三角形；

（3）假设存在；
当⊙E与BC相切时，切点为K，连接EK，则EK⊥BC；
作PG⊥BC于G，AS⊥BC于S，MH⊥BC于H，则EK∥PG∥AS∥MH，如图2所示：
∵BC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BS=2$\sqrt{5}$，
∴AS=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5）^{2}}}$=4$\sqrt{5}$，
∴$\frac{PG}{BP}=\frac{AS}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴PG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t，
同理：MH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（10-2t），
∵E为PM的中点，
∴K为GH的中点，
∴EK为梯形PGHM的中位线，
∴EK=$\frac{1}{2}$（PG+MH）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（10-t），
∵PM=2EK，
∴${（8-\frac{4}{5}t）^2}+{（6-\frac{13}{5}t）^2}={[{\frac{2}{{\sqrt{5}}}（10-t）}]^2}$
解得t=$\frac{10}{3}$，t=$\frac{10}{11}$；
∴当t=$\frac{10}{3}$或$\frac{10}{11}$时，⊙E与BC相切．

点评 本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法、梯形中位线定理等知识；本题难度较大，综合性强；特别是（2）（3）中，通过三角形相似得出比例式，再由勾股定理列出方程；根据题意列出方程是解决问题的关键．