Question

13．如图是以定长AB为直径的⊙O，CD为$\widehat{ANB}$上的一条动弦（点C与A，点D与B不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．
（1）求证：AF=BE；
（2）若弦CD的长度保持不变，四边形CDEF的面积是否也保持不变？并请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作OM⊥CD于M，根据垂径定理得到CM=DM，根据平行线等分线段定理证明结论；
（2）根据梯形中位线定理和梯形的面积公式解答即可．

解答 （1）证明：作OM⊥CD于M，
则CM=DM，
∵CF⊥CD，DE⊥CD，OM⊥CD，
∴CF∥OM∥DE，又CM=DM，
∴OF=OE，又OA=OB，
∴OA-OF=OB-OE，即AF=BE；
（2）∵弦CD的长度保持不变，
∴弦心距OM的长度保持不变，
由（1）得，OM是梯形CDEF的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$（CF+DE），
∵四边形CDEF的面积=OM×CD，
∴四边形CDEF的面积保持不变．

点评 本题考查的是垂径定理、梯形中位线定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．