Question

3．等腰三角形ABC中，∠A=30°，AB=8，求AB边上的高CD的长．

Answer 1

分析 ①当∠A为底角时，首先计算出∠CBD=60°，然后再计算出∠BCD的度数，再根据直角三角形的性质可得BD的长，再利用勾股定理计算出CD长即可；
②当∠A为顶角时，直接利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得答案；
③当∠A为底角，AB为底边，利用勾股定理以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得答案．

解答 解：①当∠A为底角时，
∵∠A=30°，AB=CB=8，
∴∠ACB=30°，
∴∠CBD=60°，
∵CD⊥AD，
∴∠BCD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$CB=4，
∴CD=$\sqrt{C{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{3}$；
②当∠A为顶角时，
∵CD⊥AB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=AC，
∴AC=8，
∴CD=4，
③当∠A为底角，AB为底边，
则AC=BC，AC=BD，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=4，
设DC=x，则AC=2x，
故x²+4²=4x²，
解得：x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∴CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
综上：AB边上的高CD的长为4或4$\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．