Question

【题目】将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．

（1）如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=　 　度，∠DBC+∠DCB=　 　度，∠ABD+∠ACD=　 　度；

（2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．

（3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）140，90，50；（2）∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A，证明见解析；（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；

（2）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．

（3）设线段DC和线段AB交于点O，根据三角形外角的性质可得：∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．

（1）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，

在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°．

故答案为：140，90，50．

（2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．证明如下：

在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A．

在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣∠A﹣90°，∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．

（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．证明如下：

设线段DC和线段AB交于点O．

∵∠BOC=∠D+∠DBO=∠A+∠ACO，∴90°+∠ABD=∠A+∠ACD，∴∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．