Question

在△ABC中，AD是角平分线．
（1）求证：

BD

DC

=

AB

AC

；
（2）探究若AD为△ABC外角的平分线，交BC延长线于点D，上面的结论是否成立？说明理由．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明

BD

CD

=

AB

AE

，进而证明AC=AE，问题即可解决．
（2）如图，作辅助线，证明

BD

CD

=

AB

AE

，进而证明AE=AC，问题即可解决．

解答：解：（1）如图1，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E；
则

BD

CD

=

AB

AE

；∠E=∠BAD，∠ACE=∠CAD；
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE，

BD

DC

=

AB

AC

．

（2）如图2，过点C作CE∥AD交AB于点E；
则

BD

CD

=

AB

AE

；∠AEC=∠FAD，∠ACE=∠CAD；
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠CAD，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∴

BD

DC

=

AB

AC

．

点评：该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．