Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点点，，且满足，点在直线的左侧，且．

（1）求的值；

（2）若点在轴上，求点的坐标；

（3）若为直角三角形，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝4；（2）P（4，0）；（3）P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．

【解析】

（1）将利用完全平方公式变形得到（a-2）2+|2a-b|＝0，即可求出a、b的值；

（2）由b的值得到OB=4，根据得到OP=OB=4，即可得到点P的坐标；

（3）由可分两种情况求使为直角三角形，当∠ABP＝90°时，当∠BAP＝90°时，利用等腰三角形的性质证明三角形全等，由此得到点P的坐标.

（1）∵a2-4a+4+|2a-b|＝0，

∴（a-2）2+|2a-b|＝0，

∴a＝2，b＝4．

（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．

∴OB＝4．

∵点P在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB＝45°

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0）．

（3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，

∴A（2,0），B（0,4）

∴OA＝2，OB＝4，

∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，

∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，

如图，

①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，

∴∠APB＝∠BAP＝45°.

∴AB＝PB .

过点 P 作 PC⊥OB 于 C，

∴∠BPC+∠CBP＝90°，

∵∠CBP+∠ABO＝90 °，

∴∠ABO＝∠BPC .

在△AOB 和△BCP 中，，

∴△AOB≌△BCP(AAS) .

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2 .

∴OC＝OB﹣BC＝2.

∴P(-4，2)

②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，

同①的方法得，△ADP'≌△BOA.

∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4.

∴OD＝AD﹣OA＝2.

∴P'（﹣2，-2）.

即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）.