【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;
(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)PG=;(3)存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1或.
【解析】
试题(1)将A(1,0),B(0,4)代入,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)由E(m,0),B(0,4),得出P(m,),G(m,4),则由可用含m的代数式表示PG的长度.
(3)先由抛物线的解析式求出D(﹣3,0),则当点P在直线BC上方时,﹣3<m<0.分两种情况进行讨论:①△BGP∽△DEH;②△PGB∽△DEH.都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式,进而求出m的值.
试题解析:解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,4),
∴,解得.
∴抛物线的解析式为.
(2)∵E(m,0),B(0,4),PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,
∴P(m,),G(m,4).
∴PG=.
(3)在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似.
∵,∴当y=0时,,解得x=1或﹣3.
∴D(﹣3,0).
当点P在直线BC上方时,﹣3<m<0.
设直线BD的解析式为y=kx+4,
将D(﹣3,0)代入,得﹣3k+4=0,解得k=.
∴直线BD的解析式为y=x+4. ∴H(m,m+4).
分两种情况:
①如果△BGP∽△DEH,那么,即.
由﹣3<m<0,解得m=﹣1.
②如果△PGB∽△DEH,那么,即.
由﹣3<m<0,解得m=.
综上所述,在(2)的条件下,存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1或.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°
(1)若BD=2,CE=4,则DE=_____.
(2)若∠AEB=75°,则线段BD与CE的数量关系是______.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标为(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为( )
A.(,0)B.(2,0)C.(,0)D.(3,0)
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【题目】如图,在坐标系中,抛物线经过点和,与轴交于点.直线.
抛物线的解析式为 .直线的解析式为 ;
若直线与抛物线只有一个公共点,求直线的解析式;
设抛物线的顶点关于轴的对称点为,点是抛物线对称轴上一动点,如果直线与抛物线在轴上方的部分形成了封闭图形(记为图形).请结合函数的图象,直接写出点的纵坐标的取值范围.
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【题目】如图,扇形OAB中,∠AOB=90°,将扇形OAB绕点B逆时针旋转,得到扇形BDC,若点O刚好落在弧AB上的点D处,则的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)形状如图,下列结论:①b>0;②a﹣b+c=0;③当x<﹣1或x>3时,y>0;④一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根.正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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