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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线x轴交于AD两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(10),点B的坐标为(04),已知点Em0)是线段DO上的动点,过点EPE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H

1)求该抛物线的解析式;

2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;

3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以PBG为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2PG=;(3)存在点P,使得以PBG为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1

【解析】

试题(1)将A10),B04)代入,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

2)由Em0),B04),得出Pm),Gm4),则由可用含m的代数式表示PG的长度.

3)先由抛物线的解析式求出D﹣30),则当点P在直线BC上方时,﹣3m0.分两种情况进行讨论:①△BGP∽△DEH②△PGB∽△DEH.都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式,进而求出m的值.

试题解析:解:(1抛物线x轴交于点A10),与y轴交于点B04),

,解得.

抛物线的解析式为.

2∵Em0),B04),PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G

∴Pm),Gm4.

∴PG=.

3)在(2)的条件下,存在点P,使得以PBG为顶点的三角形与△DEH相似.

y=0时,,解得x=1﹣3.

∴D﹣30).

当点P在直线BC上方时,﹣3m0

设直线BD的解析式为y=kx+4

D﹣30)代入,得﹣3k+4=0,解得k=.

直线BD的解析式为y=x+4. ∴Hmm+4).

分两种情况:

如果△BGP∽△DEH,那么,即.

﹣3m0,解得m=﹣1.

如果△PGB∽△DEH,那么,即.

﹣3m0,解得m=

综上所述,在(2)的条件下,存在点P,使得以PBG为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为﹣1

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