如图.在Rt△AOB中.∠AOB=90°.OA=3cm.OB=4cm.以点O为坐标原点建立坐标系.设P.Q分别为AB.OB边上的动点.它们同时分别从点A.O向B点匀速运动.速度均为1cm/秒．设P.Q移动时间为t.解答下列问题:(1)求出P点的坐标,(2)求△OPQ面积S(cm2).与运动时间t(秒)之间的函数关系式.当t为何值时.S有最大值?最大值是多少?(3)△OPQ能否是直角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒．设P、Q移动时间为t（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）求出P点的坐标（用t表示）；
（2）求△OPQ面积S（cm²），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）△OPQ能否是直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据△APM∽△ABO，可以求出点P的坐标．
（2）过点P作PN⊥OQ于点N，得到S与t的函数关系式，然后利用二次函数的性质，求出S的最大值以及对应的t值．
（3）利用∠OPQ=90°时确定t的值．

解答：解：（1）如图1，作PM⊥AO交AO于点M，

∵OA=3cm，OB=4cm，
∴AB=

9+16

=5cm．
∵△APM∽△ABO，
∴

，
∴MP=

，AM=

，
∴P（

，3-

）．
（2）如图2：

过点P作PN⊥OQ于点N，则PN=3-

t，
S=

OQ•PN
=

t（3-

）
=-

t²+

t，
∵a=-

＜0，
∴当t=

时，S有最大值，且S_最大值=

．

（3）△OPQ能成为直角三角形．
∵∠POQ＜90°，OQ=t＞ON，∠OQP＜90°，
∴只有∠OPQ可能是90°，
当∠OPQ=90°时，
△OPN∽△PQN，
∴

，
∴PN²=ON•NQ
（3-

）²=

，
解得：t₁=3，t₂=15，
∵OB=4＜15，
∴t=3．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是三角形相似的判定及性质的应用．

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