Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）直接根据题意列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题．
（2）运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决问题．

解答：解：（1）由题意得：

9a+3b+c=0 - b 2a =1 c=3

，
解该方程组得：a=-1，b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）由题意得：OA=3，OB=3；
由勾股定理得：AB²=3²+3²，
∴AB=3

2

．
当△ABM为等腰三角形时，
①若AB为底，
∵OA=OB，
∴此时点O即为所求的点M，
故点M的坐标为M（0，0）；
②若AB为腰，
以点B为圆心，以3

2

长为半径画弧，交y轴于两点，
此时两点坐标为M（0，3

2

-3）或M（0，3

2

+3），
以点A为圆心，以3

2

长为半径画弧，交y轴于点（0，-3）；
综上所述，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标分别为
（0，0）、（0，3

2

-3）、（0，3

2

+3）、（0，-3）．

点评：该题主要考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式等知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用、大胆猜测、科学解答．