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【题目】在正方形ABCD的外侧,作ADEDCF,连接AFBE(友情提醒:正方形的四条边都相等,即ABBCCDDA;四个内角都是90°,即ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB90°)

1)如图,若ADEDCF是等边三角形,求证:AFBEAFBE

2)如图,若ADEDCF为一般三角形,其中AEDFEDFC,则第(1)问中的结论仍然成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由

【答案】1)证明见详解;(2)成立,证明见详解

【解析】

1)根据正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理证明△BAE≌△ADF,根据全等三角形的性质得出结论;

2)根据边边边定理证明△EAD≌△FDC.根据边角边定理证明△BAE≌△ADF.则BE=AF,∠ABE=DAF,与(1)的证明方法相似,可得结论.

解:(1AF=BEAFBE
理由如下:如图①所示:


∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=ADC=90°,AB=AD=CD
∵△ADE和△DCF是等边三角形,
∴∠DAE=CDF=60°,AE=ADDF=CD
AE=DF,∠BAE=ADF=150°,
在△BAE和△ADF中,

∴△BAE≌△ADFSAS),
AF=BE,∠ABE=DAF
∵∠DAF+BAF=90°,
∴∠ABE+BAF=90°,
∴∠AMB=90°,
AFBE
故答案为:AF=BEAFBE

2)所画图形如图②,第(1)问的结论成立,理由如下:


在△AED和△DFC中,

∴△AED≌△DFCSSS),
∴∠EAD=FDC
∴∠BAD+EAD=ADC+FDC.即∠BAE=ADF
在△BAE和△ADF中,

∴△BAE≌△ADFSAS),
AF=BE
∴∠ABE=DAF
∵∠DAF+BAF=90°,
∴∠ABE+BAF=90°,
∴∠AMB=90°,
AFBE

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