Question

如图，已知抛物线y=-

1

4

x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．若已知A点的坐标为A（-2，0）．点Q在抛物线的对称轴上，当△ACQ为等腰三角形时，点Q的坐标为

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：首先求出抛物线解析式，然后利用配方法或利用公式x=-

b

2a

求出对称轴方程，由此可设可设点Q（3，t），若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．

解答：解：∵抛物线y=-

1

4

x²+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-

1

4

×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=

3

2

，
∴抛物线解析式为 y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
又∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
∴对称轴方程为：x=3，
∴可设点Q（3，t），则可求得：
AC=

22+42

=2

5

，
AQ=

52+t2

，
CQ=

32+(t-4)2

．
i）当AQ=CQ时，
有

52+t2

=

32+(t-4)2

，
即25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）当AC=AQ时，
有

52+t2

=2，
即t²=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，
有2

5

=

32+(t-4)2

，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴点Q坐标为：Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q₁（3，0），Q₂（3，4+

11

），Q₃（3，4-

11

）．
故答案为：（3，0），（3，4+

11

），（3，4-

11

）．

点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论．