Question

10．问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y=$\frac{6}{|x|-3}$的图象是怎样的呢？
经验：
（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想到形----先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．
②描点画图----根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．
（2）我们知道，函数y=$\frac{2}{x+1}$的图象是如图所示的两条曲线，一支在过点（-1，0）且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点（-1，0）且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．
探索：请你根据以上经验，研究函数y=$\frac{6}{|x|-3}$的图象和性质并解决相关问题．
（1）由数想形：
（2）描点画图：
①列表：

x

…

…

y

…

…

②画图：
应用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b=0；
（4）直接写出当$\frac{6}{|x|-3}$≥-2时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式可得函数图象与直线x=3或直线x=-3没有公共点；图象与y轴的交点为（0，-2）；分x＜-3或-3＜x＜0或0＜x＜3或x＞3讨论函数的增减性；
（2）通过列表、描点和连线化函数图象；
（3）观察函数图象得到函数y=$\frac{6}{|x|-3}$的图象关于y轴对称，而点A与点B关于y轴对称，所以a与b互为相反数；
（4）观察函数图象，找出函数值大于或等于-2所对应的自变量的值或取值范围．

解答 解：探索：（1）由数想形：函数y=$\frac{6}{|x|-3}$的图象与过点（-3，0）和（3，0）且平行于y轴的两直线没有公共点；图象与y轴的交点为（0，-2）；当x＜-3时，y随x的增大而增大；当-3＜x＜0，y随x的增大而增大；当0＜x＜3时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而减小；
（2）描点画图：
①列表：

②画图：

应用：（3）函数y=$\frac{6}{|x|-3}$的图象关于y轴对称，
而点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上两对称点，
所以a+b=0；
故答案为0；
（4）当x＜-3或x=0或x＞3时，$\frac{6}{|x|-3}$≥-2．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象．