Question

4．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC=130°；若∠A=n°，则∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$n°．


【探究】
（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=60°+$\frac{2}{3}$n°；
（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；
（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

Answer 1

分析 问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可；
探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；
（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．

解答 【问题】解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-50°=130°；
由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×（180°-n°）=90°-$\frac{1}{2}$n°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$n°）=90°+$\frac{1}{2}$n°；

探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠ECB=$\frac{2}{3}$∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$×（180°-n°）=120°-$\frac{2}{3}$n°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（120°-$\frac{2}{3}$n°）=60°+$\frac{2}{3}$n°；

（2）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠OCD=∠BOC+∠OBC，
∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，
∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），
∴∠A=2∠BOC，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠ABC）-（90°-$\frac{1}{2}$∠ACB）=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
故答案为：130°，90°+$\frac{1}{2}$n°；（1）60°+$\frac{2}{3}$n°．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．