Question

9．如图，△ABC的两条角平分线BE，CD相交于点O．
（1）比较大小：∠BDC＞∠A；
（2）试证明：∠BOC=∠A+∠1+∠2；
（3）判断∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用外角比较；
（2）因为∠BOC=∠1+∠BDC，∠BDC也是∠2与∠A的外角，利用外角关系说明结论可；（3）因为∠BOC与∠ABC、∠ACB的一半是180°，∠A与∠ABC、∠ACB的和是180°，利用三角形的内角和，把∠BOC与∠A连接起来．

解答 （1）解：∵∠BDC是△ADC的外角，∴∠BDC＞∠A．
（2）证明∵∠BOC是△BDO的外角，∴∠BOC=∠1+∠BDC；
∵∠BDC是△ADC的外角，∴∠BDC=∠A+∠2；
∴∠BOC=∠A+∠1+∠2．
（3）∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
理由：∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB，
∴-∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠ACB
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形的内角和及内角外角关系．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和，外角大于任何一个与它不相邻的内角．