【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
【答案】(1)y=x+3;y=-x2-2x+3;(2)(-1,2);(3)(-1,-2)或(-1,4)或(-1,) 或(-1,
).
【解析】
试题分析:(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;
(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标;
(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.
试题解析:(1)依题意得:,解之得:
,
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3
∵对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),
∴把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,
得,
解之得:,
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3;
(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.
把x=-1代入直线y=x+3得,y=2,
∴M(-1,2),
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2);
(3)设P(-1,t),
又∵B(-3,0),C(0,3),
∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,
①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2;
②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4,
③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=,t2=
;
综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,) 或(-1,
).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,CD⊥AB于点D,CD=BD,BE平分∠ABC,点H是BC边的中点,连接DH,交BE于点G,连接CG.
(1)求证:△ADC≌△FDB;
(2)求证:CE= BF;
(3)判断△ECG的形状,并证明你的结论;
(4)猜想BG与CE的数量关系,并证明你的结论.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上,下列结论: ①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+ .
其中正确的序号是(把你认为正确的都填上).
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【题目】八年级(1)班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后,利用课外活动时间积极参加体育锻炼,每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练,训练后都进行了测试.现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图.
请你根据上面提供的信息回答下列问题:
(1)扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度,该班共有学生 人,训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 .
(2)老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试,请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率.
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