Question

6．对角线长为4和2的菱形绕中心旋转90°后得到一个四角星，其周长为$\frac{16\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，连接AF、BE，首先由勾股定理求得EF的长，然后由三角形的中位线定理可知AF∥BE，且AF=$\frac{1}{2}BE$，从而得到EK=$\frac{2}{3}EF$，然后即可求得四角星的周长．

解答 解：如图所示：连接AF、BE．

∵菱形的对角线长为4和2，
∴OF=OA=1，OB=OE=2．
∴AF∥BE，且AF=$\frac{1}{2}BE$．
∵AF∥BE，
∴△AFK∽△BEK．
∴$\frac{FK}{KE}=\frac{1}{2}$．
∴EK=$\frac{2}{3}EF$．
∵四边形EFGH为菱形，
∴OE⊥OF．
在Rt△EFO中，EF=$\sqrt{O{F}^{2}+O{E}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴四角星的周长=8EK=8×$\frac{2}{3}×\sqrt{5}$=$\frac{16\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{16\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，证得EK=$\frac{2}{3}EF$是解题的关键．