Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°．点E为BD延长线上一点，且AE=AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；
（2）连接AM，易证△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD即可求得ME=CD．

解答：解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-30°

2

=75°，
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=15°，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；
（2）连接AM，

∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB=∠AME=120°
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，

∠ADB=∠AME ∠ABD=∠E AB=AE

，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD=ME，
∵BD=CD，
∴CD=ME．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△AEM是解题的关键．