Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）顶点D的坐标为（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形（3）当M的坐标为（﹣，）

【解析】分析：(1)、将点A的坐标代入函数解析式求出b的值，然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标；(2)、根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标，然后分别求出AC、BC和AB的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出答案；(3)、由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，则BC与对称轴的交点就是点M，根据一次函数的交点求法得出点M的坐标．

详解：(1)、∵点A（1，0）在抛物线y=﹣x2+bx+2上，∴﹣+b+2=0，解得，b=﹣，

抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，

则顶点D的坐标为（﹣，）；

(2)、△ABC是直角三角形，

证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2， ﹣x2﹣x+2=0， 解得，x1=﹣4，x2=1，

则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4， ∴AB=5，

由勾股定理得，AC=，BC=2， AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形；

(3)、由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，

连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b，

由题意得，， 解得，， 则直线BC的解析式为：y=x+2，

当x=﹣时，y=， ∴当M的坐标为（﹣，）．