Question

如图1，在⊙O中，直径AB=6cm，∠BAC=30°，点D为⊙O上一动点，连接BD，并延长至点E，使得BD=2DE，连接BC，AD，AE．

（1）当点D为劣弧AC中点时，求∠DBC的度数；
（2）当AD=2

3

cm时，判断直线AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求出线段DE扫过的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）当D为弧AC中点时，可知∠DBC=∠ABD，再结合条件可求得∠DBC；
（2）在Rt△ABD中可求得BD，在Rt△ADE中可求得AE，由勾股定理的逆定理可判断出∠BAE=90°，可得结论；
（3）借助勾股定理可判断出点E所经过的路线为以OA的中点为圆，

3

2

BA为半径的圆上，可求出DE扫过的面积．

解答：解：（1）∵D为劣弧AC的中点，
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC，
∵AB为直径，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°；
（2）直线AE与⊙O相切，理由如下：
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在Rt△ABD中，AB=6，AD=2

3

，由勾股定理可求得BD=2

6

，
∴DE=

6

，在Rt△ADE中，由勾股定理可示得AE=3

2

，
在△ABE中，BE=3

6

，AB=6，AE=3

2

，
∵AB²+AE²=36+18=54=BE²，
∴△ABE为直角三角形，且∠BAE=90°，
∴直线AE与⊙O相切；
（3）如图，取OA的中点G，过G作GF⊥BE，交BE于点F，

设BF=x，OB=r，
则BG=

3

2

r，BA=2r，
∵GF∥AD，
∴

BF

BD

=

BG

BA

，
即

x

BD

=

3 2 r

2r

，解得BD=

4

3

x，
∴DF=BD-BF=

4

3

x-x=

1

3

x，
而DE=

1

2

BD=

2

3

x，
∴DE=x=BF，
∴点E在以G为圆心，

3

2

OA长为半径的圆上，且⊙G与⊙O内切于点B，
∴线段DE扫过的面积为：
S=S_圆G-S_圆O=π（

3

2

OA）²-πOA²=

45

4

π，
即线段DE扫过的面积为=

45

4

π．

点评：本题主要考查圆周角定理、切线的判定及有关圆的面积的计算，在图形中灵活利用圆周角定理比较容易找到角之间的关系，在第（3）问中得出DE扫过的面积是怎样的图形是解题的关键．