Question

如图直角坐标系中，矩形ABCO，边AO、CO在坐标轴上，点B的坐标是（3，4），☉O半径为2．
（1）连接AC，判断AC的中点与☉O的位置关系；
（2）若将矩形ABCO沿着过A点的直线翻折，使得AB边所在直线翻折后能与☉O相切，求折痕的函数关系式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接AC、BD交于点D，由矩形的性质可求得OD=

1

2

AC=2.5，从而可判断出点D于⊙O的关系；
（2）设翻折后的直线与圆相切于点E，分翻折后的直线AE在第二象限和在第一象限与圆相切两种情况，再根据折痕为直线AB和AE两直线的夹角的平分线求出折痕与x轴的交点坐标，根据y=kx+b，求出其解析式即可．

解答：解：（1）如图1，连接AC、BD交于点D，由矩形的性质可知D点为AC的中点，

在Rt△AOC中可求得AC=5，
所以OD=

1

2

AC=2.5＞2，所以点D在⊙O外，
即AC的中点在⊙O外；

（2）设翻折后AB与⊙O相切于点E，
当E点在第二象限时，如图2，连接OE，设折痕所在的直线交x轴于点F，

由题意可知∠BAF=∠AEF，
而在Rt△OEA中，OE=2，OA=4，
∴∠EAO=30°，而∠OAB=90°，
∴∠FAB=60°，
∴∠OAF=30°，
在Rt△OAF中，OA=4，设OF=x，则AF=2x，由勾股定理可得：x²+4²=（2x）²，
解得x=

4 3

3

，此时F点坐标为（

4 3

3

，0），
设直线AF的解析式为y=kx+4，把点F坐标代入可解得k=-

3

，
∴折痕的函数关系式为：y=-

3

x+4，
当E点在第一象限时，如图3，连接OE，设折痕与x轴交于点F，

在Rt△OAE中，OE=2，OA=4，
∴∠OAE=30°，
∴∠EAB=60°，
∴∠EAF=30°，
∴∠OAF=60°，
在Rt△OAF中，OA=4，则OF=4

3

，即F点坐标为（4

3

，0），
设折痕的函数关系式为y=kx+4，把F点坐标代入可解得k=-

3

3

，
∴折痕的函数关系式为：y=-

3

3

x+4，
综上可知折痕的函数关系式为y=-

3

x+4或y=-

3

3

x+4．

点评：本题主要考查点和圆的位置关系、切线的性质及解直角三角形、待定系数法求函数解析式等的综合应用，在第（2）问中利用翻折得到折痕即为AB和切线夹角的平分线从而确定出折痕的位置是解题的关键．