Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证：

AB

AE

=

AC

AD

；
（2）如果AB⊥AC，AE：EC=1：2，求证：AC=BD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；
（2）在Rt△ABC中利用边长求得∠ACB=30°，进而得出AD∥BC，进一步可得到AE=DE，BE=CE，利用线段的和差可得出结论．

解答：证明：（1）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴

AB

AE

=

AC

AB

，
又∵AB=AD，
∴

AB

AE

=

AC

AD

；
（2）设AE=x，
∵AE：EC=1：2，
∴EC=2x，
由（1）得：AB²=AE•AC，
∴AB=

3

x，
又∵BA⊥AC，
∴BC=2

3

x，
∴∠ACB=30°，
又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，
∴∠ADB=∠ACB=∠CBD=30°，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴BE=CE，AE=DE，
∴AE+CE=BE+DE，
即AC=BD．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出△ABE∽△ACB是解题关键．