Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为正三角形，点B的坐标为（2，0），点P是线段OB的三等分点．
（1）求经过A、O两点的直线AO的解析式；
（2）过点P作PC⊥AB，PD⊥AO，垂足分别为C、D，求PC+PD的值；
（3）在（2）的条件下，点E在x轴的负半轴上，作直线CE交AO于点F，且△ACF和△EOF的面积相等，求直线CE的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质求得点A的坐标，点A的坐标求出以后，即可求得OA所在直线的解析式；
（2）已知PC⊥AB，PD⊥AO，可以根据勾股定理分别求得PC和PD的长度；
（3）根据S△ACF=S△EOF可得S_△ACF+S_四边形OBCF=S_△EOF+S_{四边形OBCF}，即S_△ABC=S_△BEC．过C点作CM⊥PB，垂足为M，设点P的坐标为（x，0），根据点P是线段OB的三等分点，分为两种情况进行讨论OP=

1

3

 OB或OP=

2

3

 OB，再根据三角形的面积公式求得点P和点C的坐标．

解答：解：（1）∵△AOB为正三角形，点B在x轴上且点B的坐标为（2，0），
∴A点在线段OB的垂直平分线上，
∴A点的横坐标为1，
∴设点A的坐标为（1，y），
∵OA=OB=2
∴

12+y2

=2，
解得y₁=

3

，y₂=-

3

∴点A的坐标为（1，

3

）或（1，-

3

）；
∴经过A、O两点的直线AO的解析式为：y=±

3

x；
（2）根据三角形的面积公式可得S_△ABC=S_△AOP+S_△ABP，
即

1

2

 OB•AD=

1

2

 OA•PC+

1

2

AB•PD，因为AO=OB=AB，
所以AD=PC+PD，
所以PC+PD=

3

；
（3）∵S_△ACF=S_△EOF，
∴S_△ACF+S_四边形OBCF=S_△EOF+S_{四边形OBCF}，即S_△ABC=S_△BEC，
如图，过C点作CM⊥PB，垂足为M，设点P的坐标为（x，0），

∵点P是线段OB的三等分点，
可分为两种情况进行讨论OP=

1

3

 OB或OP=

2

3

 OB，
①当AP=

1

3

 OB时，即AP=

2

3

，BP=2-

2

3

=

4

3

，
∵∠B=60°，PC⊥AB，可得BC=

2

3

，MB=

1

3

，
∴CM=

3

3

（勾股定理），
由S_△ABC=S_△BEC，即

1

2

 OB×AD=

1

2

 PB×CM，
得

1

2

×2×

3

=

1

2

×（2-x）×

1

2

，解得x=-4，
∴点P的坐标为（-4，0），
由MB=

1

3

，可得OM=OB-MB=

5

3

，故点C的坐标为（

5

3

，

3

3

 ）或（

5

3

，-

3

3

），
∴当点C的坐标为（

5

3

，

3

3

 ），直线CE的解析式为y=

3

17

（x+4），
当点C的坐标为（

5

3

，-

3

3

），直线CE的解析式为y=-

3

17

（x+4）；
②当AP=

2

3

 OB时，同理可求得OM=

11

6

，CM=

3

6

，x=-10，故点P的坐标为（-10，0），
故点C的坐标为（

11

6

，

3

6

）或（

11

6

，-

3

6

），
∴当点C的坐标为（

11

6

，

3

6

）时，直线CE的解析式为y=

3

71

（x+10）；
当点C的坐标为（

11

6

，-

3

6

）时，直线CE的解析式为y=-

3

71

（x+10）；
综上可知直线CE的解析式为y=

3

17

（x+4）或y=-

3

17

（x+4）或y=

3

71

（x+10）或y=-

3

71

（x+10）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析及等边三角形、直角三角形等知识的综合应用，求函数解析式先求出点的坐标这是解题的常用方法，在求第（3）问时注意需要分点P是哪个三等分点来讨论．