Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠B=45°，M是BC延长线上一点，△AMN∽△ABC，MN交AC延长线于点P，连接CN．
（1）请尽可能多找出图中的相似三角形（题中给出的除外）；
（2）你能找到CM、CN与CA的数量关系吗？并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）先证明△ABM和△ACN，找出相等角即可解题；
（2）易证CN=BM，BC=

2

CA，即可求得CM、CN与CA的数量关系．

解答：解：（1）如图，

∵△AMN∽△ABC，AB=AC，∴AM=AN，
∵∠BAM=∠BAC+∠CAM，∠CAN=∠CAM+∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，

AB=AC ∠BAM=∠CAN AM=AN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ANC=∠AMB，∠NCA=∠B=45°，
∴∠CAM=∠CNM，
∴△ACM∽△AMP∽△NCP，
∴△ACQ∽△NMQ，
∴△ANQ∽△CMQ，
∴△ANP∽△CMP，
（2）∵△ABM≌△ACN，
∴CN=BM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴BC=

2

CA，
∴CN=BM=BC+CM=

2

CA+CM，
∴CN=

2

CA+CM．

点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角、对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应角相等的性质．