Question

已知a，b，c为三角形的三边，若a=2，b=3，当c为何值时，△ABC是：
（1）锐角三角形？
（2）直角三角形？
（3）钝角三角形？

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理

专题：

分析：分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，（1）①a²+b²＞c²，②a²+c²＞b²，③c²+a²＞b²；（2）①a²+b²=c²，②a²+c²=b²，③c²+a²=b²；（3）①a²+b²＜c²，②a²+c²＜b²，③c²+a²＜b²．然后即可求出c的范围．

解答：解：（1）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，
①a＜b＜c，
当a²+b²＞c²时，△ABC是锐角三角形，
即c²＜2²+3²=13，
∴c＜

13

，
∵a＜b＜c
∴3＜c＜

13

．
∴当3＜c＜

13

时，△ABC是锐角三角形，
②a＜c＜b
当a²+c²＞b²时，△ABC是锐角三角形，
即c²＞b²-a²=3²-2²=5，
∴c＞

5

，
∵a＜c＜b，
∴

5

＜c＜3，
∴当

5

＜c＜3，时，△ABC是锐角三角形，
③c＜a＜b
当c²+a²＞b²时，△ABC是锐角三角形，
即c²＞b²-a²=3²-2²=5，
∴c＞

5

，
∵c＜a＜b，
∴

5

＜c＜2（舍去），
∴当

5

＜c＜3，或3＜c＜

13

时，△ABC是锐角三角形；
（2）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，
①a＜b＜c
当a²+b²=c²时，△ABC是直角三角形，
即c²=2²+3²=13，
∴c=

13

，
∴当c=

13

时，△ABC是直角三角形，
②a＜c＜b
当a²+c²=b²时，△ABC是直角三角形，
即c²=b²-a²=3²-2²=5，
∴c=

5

，
∴当c=

5

时，△ABC是直角三角形，
③c＜a＜b
当c²+a²=b²时，△ABC是直角三角形，
即c²=b²-a²=3²-2²=5，
∴c=

5

，
∴当c=

5

时，△ABC是直角三角形，
∴当c=

13

或

5

时，△ABC是直角三角形；
（3）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，
①a＜b＜c，
当a²+b²＜c²时，△ABC是钝角三角形，
即c²＞2²+3²=13，
∴c＞

13

，
∵a＜b＜c
∴c＞

13

．
∴当c＞

13

时，△ABC是钝角三角形，
②a＜c＜b
当a²+c²＜b²时，△ABC是钝角三角形，
即c²＜b²-a²=3²-2²=5，
∴c＜

5

，
∵a＜c＜b，
∴2＜c＜

5

，
∴当2＜a＜

5

，时，△ABC是钝角三角形，
③c＜a＜b
当c²+a²＜b²时，△ABC是钝角三角形，
即c²＜b²-a²=3²-2²=5，
∴c＜

5

，
∵c＜a＜b，
∴0＜c＜2，
∴当0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形，
∴当c＞

13

或当2＜a＜

5

或0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形．

点评：此题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是：分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b．