Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．

（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；

（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，满足条件的点M为或或．

【解析】

（1）将原点坐标代入解析式可求出k的值，即可求解；

（2）由题意可得点C（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，则可得不论k为何值，直线l总经过点C；

（3）分OA为边，OA为对角线两种情况讨论，由菱形的性质可求解．

解：（1）∵直线l经过原点，

∴把点（0，0）代入y＝kx+2﹣4k，

得：2﹣4k＝0，

解得：，

∴一次函数的解析式为：；

（2）由题意可知，点C的坐标为（4，2），

当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，

∴不论k为何值，直线l总经过点C；

（3）设点M（x，x）

①以OA为菱形的边，此时，OM＝OA＝5，

∴

∴x＝±2，

点M的坐标为或；

②以OA为菱形的一条对角线，

此时MN垂直平分OA，

则x＝

∴x＝5

则M的坐标为；

综上所述：满足条件的点M为或或．