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【题目】已知,点O是等边ABC内的任一点,连接OA,OB,OC.

(1)如图1,已知AOB=150°,BOC=120°,将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC.

DAO的度数是

②用等式表示线段OA,OB,OC之间的数量关系,并证明;

(2)设AOB=α,BOC=β.

①当α,β满足什么关系时,OA+OB+OC有最小值?请在图2中画出符合条件的图形,并说明理由;

②若等边ABC的边长为1,直接写出OA+OB+OC的最小值.

【答案】(1)90°;②线段OA,OB,OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2证明见试题解析;

(2)①当α=β=120°时,OA+OB+OC有最小值.证明见试题解析;②线段OA,OB,OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2证明见试题解析。

【解析】

试题分析:(1)①根据周角的定义得到AOC=360°﹣120°﹣150°=90°,由于将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC,于是得到OCD=60°,D=BOC=120°,根据四边形的内角和即可得到结论;②如图1,连接OD,由于BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC,得到ADC≌△BOC,OCD=60°,根据全等三角形的性质得到CD=OC,ADC=BOC=120°,AD=OB,推出OCD是等边三角形,根据等边三角形的性质得到OC=OD=CD,COD=CDO=60°,由于AOB=150°,BOC=120°,得到AOC=90°,求得AOD=30°,ADO=60°,根据勾股定理即可得到结论;

(2)①如图2,由旋转的性质得到O′C=OC,O′A′=OA,A′C=BC,A′O′C=AOC..推出OC O′是等边三角形,根据等边三角形的性质得到OC=O′C=OO′,COO′=CO′O=60°,由于AOB=BOC=120°,得到AOC=A′O′C=120°,推出四点B,O,O′,A′共线,即可得到结论,②根据①的结论即可得到结果.

试题解析:(1)①AOB=150°,BOC=120°,∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°,

BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC,

∴∠OCD=60°,D=BOC=120°,

∴∠DAO=360°﹣AOC﹣OCD﹣D=90°,

故答案为:90°;

②线段OA,OB,OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2

如图1,连接OD,

∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC,

∴△ADC≌△BOC,OCD=60°,CD=OC,ADC=BOC=120°,AD=OB,

∴△OCD是等边三角形,OC=OD=CD,COD=CDO=60°,

∵∠AOB=150°,BOC=120°,∴∠AOC=90°,

∴∠AOD=30°,ADO=60°,∴∠DAO=90°,

在RtADO中,DAO=90°,OA2+OB2=OD2OA2+OB2=OC2

(2)①当α=β=120°时,OA+OB+OC有最小值.

如图2,将AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得A′O′C,连接OO′,

∴△A′O′C≌△AOC,OCO′=ACA′=60°,

O′C=OC,O′A′=OA,A′C=BC,A′O′C=AOC.

∴△OC O′是等边三角形,OC=O′C=OO′,COO′=CO′O=60°,

∵∠AOB=BOC=120°,∴∠AOC=A′O′C=120°,

∴∠BOO′=OO′A′=180°,四点B,O,O′,A′共线,

OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小;

∵∠AOB=BOC=120°,∴∠AOC=120°,O为ABC的中心,

四点B,O,O′,A′共线,BDAC,AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得A′O′C,

A′C=AC=BC,A′B=2BD,在RtBCD中,BD=BC=A′B=

当等边ABC的边长为1时,OA+OB+OC的最小值A′B=

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