Question

【题目】如图，在菱形中，，，点E，F分别是边，的中点，是上的动点，那么的最小值是_______.

Answer 1

【答案】5

【解析】

设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．

设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，

∴PN=PE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAB=∠BCD,AD=AB=BC=CD,OA=OC,OB=OD,AD∥BC，

∵E为AB的中点，

∴N在AD上，且N为AD的中点，

∵AD∥CB，

∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，

∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，

在△ANP和△CFP中

∵ ，

∴△ANP≌△CFP(ASA)，

∴AP=CP，

即P为AC中点，

∵O为AC中点，

∴P、O重合，

即NF过O点，

∵AN∥BF，AN=BF，

∴四边形ANFB是平行四边形，

∴NF=AB，

∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD,OA=AC=4,BO=BD=3，

由勾股定理得：AB= =5，

故答案为：5.