Question

5．如图，扇形AOB的半径为4，∠AOB=90°，O₁是以OB为直径的半圆的圆心，⊙O₂与$\widehat{AB}$、半圆O₁、OA分别相切于点C、D、E，求⊙O₂的半径．

Answer 1

分析 连接OC、O₁ O₂、O₂ E，作O₂ M⊥OB于M，由相切两圆的性质得OC经过点O₂，O₁ O₂经过点D，设⊙O₂的半径为x，则OM=EO₂=x，O₁ M=2-x，OO₂=4-x，O₁ O₂=x+2，由勾股定理得出方程，解方程即可求得．

解答 解：连接OC、O₁ O₂、O₂ E，作O₂ M⊥OB于M，如图所示：
则OC经过点O₂，O₁ O₂经过点D，∠O₂ MO=∠O₂ MO₁=90°，
设⊙O₂的半径为x，
则OM=EO₂=x，O₁ M=2-x，OO₂=4-x，O₁ O₂=x+2，
由勾股定理得：O₂ M²=OO₂ ²-OM²=O₁ O₂ ²-O₁ M²，
即（4-x）²-x²=（x+2）²-（2-x）²，
解得：x=1，
即⊙O₂的半径为1．

点评 本题考查了相切两圆的性质、勾股定理；熟练掌握相切两圆的性质，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．