Question

10．如图，在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，且DE∥AB交AC于F时．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）连接CE，若AB=2，CD=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到AD=AB，∠ADE=∠B，由平行线的性质得到∠ADE=∠DAB，等量代换得到∠DAB=∠B，求得AD=BD，于是得到结论；
（2）过A作AH⊥CD于H，解直角三角形得到AH=$\sqrt{3}$，BH=1，求得DH=1，得到CH=5，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{26}$，根据旋转的性质得到∠EAC=∠DAB=60°，AE=AC，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴AD=AB，
∴∠ADE=∠B，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠DAB，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形；

（2）解：过A作AH⊥CD于H，
∵∠B=60°，AB=2，
∴AH=$\sqrt{3}$，BH=1，
∵BD=AB=2，
∴DH=1，
∴CH=5，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∵△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴∠EAC=∠DAB=60°，AE=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=$\sqrt{26}$．

点评 本题考查了本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．