[题目]对于给定的两个函数和.我们把叫做这个两个函数的积函数.把直线和叫做抛物线的母线．(1)直接写出函数和的积函数,(2)点在(1)中的抛物线上.过点垂直于轴的直线分别交此抛物线的母线于两点(点不重合).设点的横坐标为.求时的值,(3)已知函数和．①当它们的积函数自变量的取值范围是.且当时.这个积函数的最大值是8.求的值以� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】对于给定的两个函数和，我们把叫做这个两个函数的积函数，把直线和叫做抛物线的母线．

（1）直接写出函数和的积函数；

（2）点在(1)中的抛物线上，过点垂直于轴的直线分别交此抛物线的母线于两点（点不重合），设点的横坐标为，求时的值；

（3）已知函数和．

①当它们的积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，求的值以及这个积函数的最小值；

②当它们的积函数自变量的取值范围是时，直接写出这个积函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标与之间的函数关系式．

【答案】（1）；（2）或；（3）①3，-7，②当时，；当时，；当时，；当时，

【解析】

（1）利用积函数的定义直接得出结论，最后令y=0，解方程即可求出与x轴的交点坐标；

（2）设出点P的坐标，进而表示出点M，N的坐标，即可求出PM，PN，最后用PM=PN建立方程求解即可得出结论；

（3）①先确定出积函数，利用此函数的增减性，判断出x=2时，y最大求出n，最后将x=-1代入抛物线解析式即可确定出最小值；

②分三种情况，自变量范围内的图象全在对称轴左侧，或右侧或对称轴介于自变量的分之内，最后用函数增减性，代入即可得出结论．

解：（1）∵函数和，

∵函数和的积函数为.

（2）由（1）知，抛物线解析式为，设，

∵函数和，

∴，

∴

，

∵

∴，

∴ （此时点和重合，舍去）或；

（3）①∵函数和，

∴函数为和积函数为，

∵积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，

∴当时，，

∴，

∴积函数的解析式为，

当时，.

②由①知，积函数的解析式为，

∴此积函数的对称轴为直线，且对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随增大而减小，

∵积函数自变量的取值范围是，

Ⅰ.当时，即，

此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式

Ⅱ.当时，即，

此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式；

Ⅲ.当时，即，

此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式.

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