Question

1．如图，从矩形ABCD中剪出一个圆心角为120°的扇形OBF，扇形OBF与CD相切，切点为E，用这个扇形围成一个圆锥．若矩形ABCD的面积为54，则围成的圆锥的高为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接OE，得到∠FOA=60°，设OF=OE=OB=BC=x，则AO=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{x}{2}$，根据矩形ABCD的面积为54求得x的值，然后根据圆锥的底面周长等于弧长求得底面半径，从而利用勾股定理求得圆锥的高即可．

解答 解：如图：连接OE，
∵扇形与CD相切，
∴OE⊥CD，
∴∠FOE=90°，
∵∠FOE=120°，
∴∠EOF=30°，
∴∠FOA=60°，
设OF=OE=OB=BC=x，
则AO=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{x}{2}$，
∴AB=AO+OB=$\frac{x}{2}$+x=$\frac{3}{2}$x，
∵矩形ABCD的面积为54，
∴AB×BC=x×$\frac{3x}{2}$=54，
解得：x=6，
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=$\frac{120π×6}{180}$，
解得：r=2，
∴圆锥的高为$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆锥的计算，能够利用切线的性质求得扇形的半径是解答本题的关键，难度不大．