已知A(1.2).B是双曲线上的点．求:(1)过点A.B的双曲线解析式,(2)过点A.B的直线方程,(3)过点A.B两点且与x轴有且只有一个交点的抛物线解析式,已知n＞0.代数式n+$\frac{4}{n}$由配方法可得n+$\frac{4}{n}$=($\sqrt{n}$-$\frac{2}{\sqrt{n}}$)2+4.则代数式n+$\frac{4}{n}$的最小值是4� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

已知A（1，2），B（m，$\frac{1}{2}$）是双曲线上的点．
求：（1）过点A，B的双曲线解析式；
（2）过点A，B的直线方程；
（3）过点A，B两点且与x轴有且只有一个交点的抛物线解析式；
（4）（i）已知n＞0，代数式n+$\frac{4}{n}$由配方法可得n+$\frac{4}{n}$=（$\sqrt{n}$-$\frac{2}{\sqrt{n}}$）²+4，则代数式n+$\frac{4}{n}$的最小值是4．
（ii）若P为双曲线AB段上的任意一点，求△PAB的面积的最大值．

分析（1）设反比例解析式为y=$\frac{k}{x}$，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式即可；
（2）把B坐标代入反比例解析式求出m的值确定出B坐标，设直线AB解析式为y=mx+n，把A与B坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线AB解析式；
（3）若顶点在x轴上，则该抛物线与x轴有且只有一个交点，设抛物线为y=a（x-h）²，把A与B坐标代入求出a与h的值，即可确定出满足题意的抛物线解析式；
（4）（i）根据配方的结果，利用非负数的性质求出所求式子的最小值即可；
（ii）如图，设P（m，$\frac{2}{m}$）为双曲线上AB段的任意一点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，表示出Q坐标，进而表示出PQ的长，表示出S与m的二次函数解析式，利用二次函数性质求出S的最大值即可．

解答解：（1）设反比例解析式为y=$\frac{k}{x}$，
把点A（1，2）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，得：2=$\frac{k}{1}$，即k=2，
则过点A、B的双曲线为y=$\frac{2}{x}$；
（2）∵点B（m，$\frac{1}{2}$）在双曲线为y=$\frac{2}{x}$上，
∴m=4，即B（4，$\frac{1}{2}$），
设直线AB解析式为y=mx+n，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{4m+n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{1}{2}$，n=$\frac{5}{2}$，
则过点A、B的直线方程y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（3）设抛物线为y=a（x-h）²，
把点A、B代入得$\left\{\begin{array}{l}{a（h-1）^{2}=2}\\{a（h-4）^{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{18}$，h=7或a=$\frac{1}{2}$，h=3，
则过点A，B两点且与x轴有且只有一个交点的抛物线解析式为y=$\frac{1}{18}$（x-7）²或y=$\frac{1}{2}$（x-3）²；
（4）（i）∵n＞0，
∴n+$\frac{4}{n}$=（$\sqrt{n}$-$\frac{2}{\sqrt{n}}$）²+4≥4，
则代数式n+$\frac{4}{n}$的最小值是4；
故答案为：4；
（ii）如图，设P（m，$\frac{2}{m}$）为双曲线上AB段的任意一点，
过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，则Q（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{m}$，
∴S=$\frac{15}{4}$-$\frac{3}{m}$-$\frac{3m}{4}$=$\frac{15}{4}$-3（$\frac{1}{m}$+$\frac{m}{4}$）≤$\frac{15}{4}$-3=$\frac{3}{4}$，
则△PAB的面积的最大值是$\frac{3}{4}$．

点评此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，非负数的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

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