Question

19．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EM+CM的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{26}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 在AB上取AE′=AE，连接CE′，过点E′作E′F⊥BC由等边三角形的性质可知：AB=AC=BC=6，∠B=60°，然后证明△AE′M≌△AEM，从而得到E′M=EM，由两点之间线段最短可知：当E′、M、C在一条直线上时，EM+MC有最小值，在Rt△E′BF中，可求得BF=2，E′F=2$\sqrt{3}$，最后在Rt△E′FC中，由勾股定理求E′C的长即可．

解答 解：如图所示，在AB上取AE′=AE，连接CE′，过点E′作E′F⊥BC．

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=6．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△AE′M和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AM=∠EAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AE′M≌△AEM，
∴E′M=EM．
由两点之间线段最短可知：当E′、M、C在一条直线上时，EM+MC有最小值．
∵AE=2，
∴BE′=AB-AE′=4
在Rt△E′BF中，∠B=60°，
∴$\frac{BF}{BE′}=\frac{1}{2}$，$\frac{E′F}{BE′}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BF=$\frac{1}{2}BE′=\frac{1}{2}×4=2$，E′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}BE′$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$．
∴FC=BC-BF=4．
在Rt△E′FC中，E′C=$\sqrt{E′{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴EM+MC=2$\sqrt{7}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质、特殊锐角三角函数值的应用、轴对称-路径最短等知识点，明确当E′、M、C在一条直线上时，EM+MC有最小值是解题的关键．