Question

9．已知a、b、c是△ABC的三条边
（1）判断（b-c）²-a²的正负；
（2）若a、b、c满足a²+c²+2b（b-a-c）=0，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合因式分解进行证明原式为负数．
（2）先把原式化为完全平方的形式，再利用非负数的性质求解．

解答 解：（1）∵a、b、c分别为△ABC的三边，
∴a+b＞c，b+c＞a，
即a-c+b＞0，a-c-b＜0．
∴（a-c）²-b²=（a-c+b）（a-c-b）＜0
∴（a-c）²-b²是负数．

（2）∵a²+c²+2b（b-a-c）=0，
∴a²+c²-2ab-2bc+2b²=0，
a²+b²-2ab+c²-2bc+b²=0，
即（a-b）²+（b-c）²=0，
∴a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，
∴a=b=c．
故△ABC是等边三角形．

点评 本题主要考查了因式分解的应用和非负数的性质，利用了平方差公式和三角形三边的关系进行分析（1）题，利用完全平方公式因式分解是解答（2）题的关键．