Question

20．如图，已知△ABC（AB＞AC），在∠BAC内部的点P到∠BAC两边的距离相等，且PB=PC．
（1）利用尺规作图，确定符合条件的P点（保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）过点P作AC的垂线，垂足D在AC延长线上，求证：AB-AC=2CD；
（3）当∠BAC=90°时，判断△PBC的形状，并证明你的结论；
（4）当∠BAC=90°时，设BP=m，AP=n，直接写出△ABC的周长和面积（用含m、n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分线和线段BC的垂直平分线，两线交于点P，则点P即为所求；
（2）如图2，作PE⊥AB于点E，联结PB、PC，由点P在∠BAC的平分线上，得到PD=PE，证得Rt△PEB≌Rt△PDC，得到BE=CD，推出Rt△AEP≌Rt△ADP，得到AE=AD，由于AE=AB-BE，AD=AC+CD，即可得到结论；
（3）根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论；
（4）由（3）证得△BPC是等腰直角三角形，推出△AEP是等腰直角三角形，求得AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，即AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n，由于AE=AD，BE=CD，于是得到AB+AC=AE+AD=$\sqrt{2}$n，求得△ABC的周长=$\sqrt{2}$（m+n），根据Rt△PEB≌Rt△PDC，得到S_△ABC=S_{四边形ABPC}-S_△BPC=$\frac{1}{2}$n²=$\frac{1}{2}$m²．

解答 解：（1）如图1所示，点P即为所求作的点；

（2）如图2，作PE⊥AB于点E，联结PB、PC，
∵点P在∠BAC的平分线上，
∴PD=PE，
在Rt△PEB和Rt△PDC中，
$\left\{{\begin{array}{l}{PE=PD}\\{PB=PC}\end{array}}\right.$，
∴Rt△PEB≌Rt△PDC，
∴BE=CD，
在Rt△AEP和Rt△ADP中，
$\left\{{\begin{array}{l}{PE=PD}\\{AP=AP}\end{array}}\right.$，
∴Rt△AEP≌Rt△ADP，
∴AE=AD，
∵AE=AB-BE，AD=AC+CD，
∴AB-BE=AC+CD，
又∵BE=CD，
∴AB-AC=2CD；

（3）∵∠BAC=90°，
∴∠EAP=∠PAC=45°，
在Rt△AEP中，∠EAP+∠EPA=90°，
∴∠EPA=45°，
同理∠APD=45°，
∴∠EPD=90°=∠EPC+∠CPD，
由（2）知Rt△PEB≌Rt△PDC，
∴∠BPE=∠CPD，
∴∠BPE+∠EPC=90°，即∠BPC=90°，
又∵BP=PC，
∴△BPC是等腰直角三角形；

（4）由（3）证得△BPC是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$PB，
∵PB=m，
∴BC=$\sqrt{2}$m，
∵AP平分∠BAC，∠CAB=90°，
∴∠EAP=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，
∵AP=n，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n，
∵AE=AD，BE=CD，
∴AB+AC=AE+AD=$\sqrt{2}$n，
∴△ABC的周长=$\sqrt{2}$（m+n），
∵Rt△PEB≌Rt△PDC，
∴S_{四边形ABPC}=S_{四边形AEPD}=AE²=$\frac{1}{2}$n²，
∵S_△ABC=S_{四边形ABPC}-S_△BPC=$\frac{1}{2}$n²=$\frac{1}{2}$m²．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，基本作图，正确的作出辅助线是解题的关键．