Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别是，对于的横长、纵长、纵横比给出如下定义：

将中的最大值，称为的横长，记作；将中的最大值，称为的纵长，记作；将叫做的纵横比，记作．

例如：如图的三个顶点的坐标分别是，则，

所以．

如图2，点，

点，

则的纵横比______

的纵横比______；

点F在第四象限，若的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；

点M是双曲线上一个动点，若的纵横比为1，求点M的坐标；

如图3，点以为圆心，1为半径，点N是上一个动点，直接写出的纵横比的取值范围．

Answer 1

【答案】 1

【解析】分析：（1）①根据纵横比的定义计算即可；
②点F在第四象限的角平分线上即可；
③分三种情形讨论即可．
（2）如图3中，当当时，可得的纵横比的最大值，

当与相切时，切点在第二象限时，可得的纵横比的最小值.

详解：

由题意的纵横比的纵横比，

故答案为．

由点F在第四象限，若的纵横比为1，则在第四象限的角平分线上即可．

如图设

a、当时，点M在上，则，

此时的横长的纵长为，

的纵横比为1，

，

或舍弃，

，

．

b、当时，点M在上，则，

此时的横长的纵长为，

的纵横比为1，

，

舍弃，

c、当时，点M在上，则，

此时的横长的纵长为，

的纵横比为1，

，

或舍弃，

，

，

综上所述，点M坐标为或

如图3中，当时，可得的纵横比的最大值，

当与相切时，切点在第二象限时，可得的纵横比的最小值，

，

，

，

，易知，作于H．

，

，

此时的纵横比，

．