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【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,已知抛物线C1:y1=﹣x2+ax+b与抛物线C2:y2=2x2+4x+6为“友好抛物线”,抛物线C1与x轴交于点A、C,与y轴交于点B.

(1)求抛物线C1的表达式.
(2)若F(t,0)(﹣3<t<0)是x轴上的一点,过点F作x轴的垂线交抛物线与点P,交直线AB于点E,过点P作PD⊥AB于点D.

①是否存在点F,使PE+PD的值最大,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点F的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当正方形APMN中的边MN与y轴有且仅有一个交点时,求t的取值范围.

【答案】
(1)

解:由y2=2x2+4x+6=2(x+1)2+4,可知顶点坐标为(﹣1,4),

∵知抛物线C1:y1=﹣x2+ax+b与抛物线C2:y2=2x2+4x+6为“友好抛物线”,

∴顶点相同,抛物线C1的解析式为y1=﹣(x+1)2+4,

即y1=﹣x2﹣2x+3


(2)

解:①由题意易知A(﹣3,0),B(0,3),

∴OA=OB=3,

∴△AOB是等腰直角三角形,

∴∠BAO=45°,

∵PF⊥x轴,

∴∠AEF=90°﹣45°=45°,

又∵PD⊥AB,

∴△PDE是等腰直角三角形,

∴PD越大,PE+PD的值越大,

易得直线AB的解析式为y=x+3,

设与AB平行的直线解析式为y=x+m,

联立

消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,

当△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,

即m= 时,直线与抛物线只有一个交点,PD最长,

此时x=﹣ ,y=﹣ + =

∴点P(﹣ )时,PD+PE的值最大,

此时t=﹣

②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣ =﹣1,

(i)如图1,当点M在y轴上时,过点P作PQ⊥y轴于Q,

在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,

∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,

∴∠APF=∠QPM,

∵在△APF和△MPQ中,

∴△APF≌△MPQ(AAS),

∴PF=PQ,

∵点P的横坐标为t(t<0),则PQ=﹣t,

即PF=﹣t,

∴点P的坐标为(t,﹣t),

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,

∴﹣t2﹣2t+3=﹣t,

整理得,t2+t﹣3=0,

解得t1= (舍去),t2=

(ii)如图2,点N在y轴上时,

∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,

∴∠FPA=∠QAN,

又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,

∴△APF≌△NAO,

∴PF=AO,

则点P坐标为P(t,3),

则有﹣t2﹣2t+3=3,解得x=﹣2或0,

观察图象可知,当正方形APMN中的边MN与y轴有且仅有一个交点时,t的取值范围为 ≤t≤﹣2


【解析】(1)求出抛物线C1的顶点坐标即可解决问题;(2)①首先证明△PDE是等腰直角三角形,可知PD越大,PE+PD的值越大,易得直线AB的解析式为y=x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,联立 ,消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,当△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,即m= 时,直线与抛物线只有一个交点,PD最长,由此即可解决问题;②分两种情形(i)如图1中,当点M在y轴上时,(ii)如图2,点N在y轴上时,分别求解即可;
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和二次函数的图象,需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点才能得出正确答案.

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印数a (单位:千册)

1≤a<5

5≤a<10

彩色 (单位:元/张)

2.2

2.0

黑白(单位:元/张)

0.7

0.6

(1)直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元;

(2)若印制6千册,那么共需多少费用?

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