【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,已知抛物线C1:y1=﹣x2+ax+b与抛物线C2:y2=2x2+4x+6为“友好抛物线”,抛物线C1与x轴交于点A、C,与y轴交于点B.
(1)求抛物线C1的表达式.
(2)若F(t,0)(﹣3<t<0)是x轴上的一点,过点F作x轴的垂线交抛物线与点P,交直线AB于点E,过点P作PD⊥AB于点D.
①是否存在点F,使PE+PD的值最大,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点F的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当正方形APMN中的边MN与y轴有且仅有一个交点时,求t的取值范围.
【答案】
(1)
解:由y2=2x2+4x+6=2(x+1)2+4,可知顶点坐标为(﹣1,4),
∵知抛物线C1:y1=﹣x2+ax+b与抛物线C2:y2=2x2+4x+6为“友好抛物线”,
∴顶点相同,抛物线C1的解析式为y1=﹣(x+1)2+4,
即y1=﹣x2﹣2x+3
(2)
解:①由题意易知A(﹣3,0),B(0,3),
∴OA=OB=3,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠BAO=45°,
∵PF⊥x轴,
∴∠AEF=90°﹣45°=45°,
又∵PD⊥AB,
∴△PDE是等腰直角三角形,
∴PD越大,PE+PD的值越大,
易得直线AB的解析式为y=x+3,
设与AB平行的直线解析式为y=x+m,
联立 ,
消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,
当△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,
即m= 时,直线与抛物线只有一个交点,PD最长,
此时x=﹣ ,y=﹣ + = ,
∴点P(﹣ , )时,PD+PE的值最大,
此时t=﹣ .
②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣ =﹣1,
(i)如图1,当点M在y轴上时,过点P作PQ⊥y轴于Q,
在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,
∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,
∴∠APF=∠QPM,
∵在△APF和△MPQ中,
,
∴△APF≌△MPQ(AAS),
∴PF=PQ,
∵点P的横坐标为t(t<0),则PQ=﹣t,
即PF=﹣t,
∴点P的坐标为(t,﹣t),
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,
∴﹣t2﹣2t+3=﹣t,
整理得,t2+t﹣3=0,
解得t1= (舍去),t2= ,
(ii)如图2,点N在y轴上时,
∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,
∴∠FPA=∠QAN,
又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,
∴△APF≌△NAO,
∴PF=AO,
则点P坐标为P(t,3),
则有﹣t2﹣2t+3=3,解得x=﹣2或0,
观察图象可知,当正方形APMN中的边MN与y轴有且仅有一个交点时,t的取值范围为 ≤t≤﹣2
【解析】(1)求出抛物线C1的顶点坐标即可解决问题;(2)①首先证明△PDE是等腰直角三角形,可知PD越大,PE+PD的值越大,易得直线AB的解析式为y=x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,联立 ,消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,当△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,即m= 时,直线与抛物线只有一个交点,PD最长,由此即可解决问题;②分两种情形(i)如图1中,当点M在y轴上时,(ii)如图2,点N在y轴上时,分别求解即可;
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和二次函数的图象,需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点才能得出正确答案.
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【题目】如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)求证:BE=CF;
(2)如果AB=8,AC=6,求AE、BE的长.
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【题目】用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成。硬纸板以如图两种方式裁剪(裁剪后边角料不再利用)
A方法:剪6个侧面; B方法:剪4个侧面和5个底面。
现有19张硬纸板,裁剪时张用A方法,其余用B方法。
(1)用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?
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【题目】如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
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【题目】一次函数y=kx﹣1的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增大,则点P的坐标可以为( )
A. (﹣5,3) B. (1,﹣3) C. (2,2) D. (5,﹣1)
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【题目】如图,在长方形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AD>AB,将长方形ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为MN,连接CN.若△CDN的面积与△CMN的面积比为1:3,
(1)求证:DN=BM;(2)求ND:NA的值;(3)求MN2:BM2的值.
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【题目】如图,在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,则∠DCA的度数为度.
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【题目】如图,甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发,当分别行驶到A,B,C处时,经测量得,甲船位于港口的北偏东43°45′方向,乙船位于港口的北偏东76°35′方向,丙船位于港口的北偏西43°45′方向.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求∠AOB的度数.
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【题目】某中学为筹备校庆活动,准备印制一批校庆纪念册,该纪念册每册需要10张8K大小的纸,其中4张为彩色页,6张为黑白页.印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成,制版费与印数无关,价格为:彩色页300元/张,黑白页50元/张;印刷费与印数的关系见表.
印数a (单位:千册) | 1≤a<5 | 5≤a<10 |
彩色 (单位:元/张) | 2.2 | 2.0 |
黑白(单位:元/张) | 0.7 | 0.6 |
(1)直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元;
(2)若印制6千册,那么共需多少费用?
(3)如印制x(1≤x<10)千册,所需费用为y元,请写出y与x之间的关系式.
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