Question

如图，直线l₁：y=-x+6交x轴于点B，与直线l₂：y=交于点A，点E为线段OA的中点，长为2个单位的动线段CD（端点C从原点O开始）在线段OB上以每秒1个单位的速度向点B运动，当端点D到达点B时运动停止．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）点D的坐标为______，点E的坐标为______；
（2）探究：当t为何值时△DEC为直角三角形；
（3）设点F为线段CD的中点，试探究是否存在t，使四边形AECF的周长最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）运动t秒后OC=t，则可得点D的坐标为（2+t，0），
，
解得：，即点A的坐标为（4，2），
∵点E是OA的中点，
∴点E的坐标为（2，1）．

（2）①当∠EDC=90°时，此时点E坐标为：（2，1），点D坐标为（2，0），
则2+t=2，
解得：t=0；
②当∠ECD=90°时，此时点E坐标为：（2，1），点C坐标为（2，0），
则t=OC=2；
③当∠CED=90°时，过点E作EP⊥x轴于点P，

∵点E坐标为（2，1），
∴CP=2-t，PD=2+t-2=t，EP=1，
由CE²+ED²=CD²，可得（2-t）²+1²+t²+1²=2²，
解得：t=1，
综上可得当t=0或t=1或t=2时，△DEC是直角三角形．

（3）如图，作CE关于x轴的对称线段，CE'，将CE'向右平移至FE''，当FE''与AF共线时四边形AECF的周长最小，

∵C（t，0），CD=2，点F是CD的中点，
∴CF=1，点F（t+1，0），
设过A（4，2），E''（3，-1）两点的直线表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
则直线AE''的表达式为：y=3x-10，
当点F（t+1，0）在直线AE''上时，3（t+1）-10=0，
解得：t=，
则存在t=，使得四边形AECF的周长最小．
分析：（1）用t表示出OC的长度，然后可得出点D的坐标，联立两直线解析式可得出点A的坐标，根据点E是OA的中点，可得出点E的坐标；
（2）分三种情况讨论即可，①∠EDC=90°，②∠ECD=90°，③∠CED=90°，分别求出t的值．
（3）作CE关于x轴的对称线段，CE'，将CE'向右平移至FE''，当FE''与AF共线时四边形AECF的周长最小，确定AE''的直线解析式，将点F的坐标代入可求出t的值．
点评：本题考查了一次函数综合题，涉及了动点问题、直角三角形及待定系数法求函数解析式及三点共线的知识，综合性较强，解答第三问要注意两点之间线段最短的运用，要求同学们能将所学的知识融会贯通．