Question

【题目】如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AG＝4.

【解析】

（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得AE=CE=EF，可得∠CAF=90°，即可证AF是⊙O的切线；

（2）连接AD，由“AAS”可证△ABC≌△ADC，可得AB=AD=12，BC=CD，由勾股定理可求DE=5，由平行线分线段成比例可求GE=9，即可求AG的长．

解：证明：（1）∵AC平分∠BCD

∴∠ACB＝∠ACD，

∵AE∥BC

∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD

∴AE＝CE，且AE＝EF

∴AE＝CE＝EF

∴△CAF是直角三角形

∴∠CAF＝90°

∴AF是⊙O的切线

（2）连接AD，

∵AC是直径

∴∠ABC＝90°＝∠ADC

∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°

∴△ABC≌△ADC（AAS）

∴AB＝AD＝12，BC＝CD

在Rt△AED中，DE＝

∵AE＝CE＝EF＝13

∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，

∵AE∥BC

∴

∴EG＝9

∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝4