Question

如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.

（1）请判断：AF与BE的数量关系是　　　　　　　，位置关系是　　　　　　　；

（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；

（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.

A

E

E

D

备用图

 

Answer 1

解：（1）AF=BE，AF⊥BE. ························ 2分

（2）结论成立.····························· 3分

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.

在△EAD和△FDC中，

∴△EAD≌△FDC.

∴∠EAD=∠FDC.

∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.··············· 4分

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF.

∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.························ 6分

∵∠DAF +∠BAF=90°，

∴∠ABE +∠BAF=90°，

∴AF⊥BE.······························· 9分

（3）结论都能成立.·························· 11分