Question

已知在△ABC中，∠B=90^o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：AC·AD=AB·AE；

（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接DE

∵AE是直径

∴∠ADE=90^o

∴∠ADE=∠ABC

在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角

故△ADE∽△ABC………………………………2分

则，即AC·AD=AB·AE…………4分

（2）解：连接OD

∵BD是圆O的切线

则OD⊥BD……………………………………………5分

在Rt△OBD中，OE=BE=OD

∴OB=2OD

∴∠OBD=30^o…………………………………………………………………6分

同理∠BAC=30^o………………………………………………………………7分

在Rt△ABC中AC=2BC=2×2=4…………………………