Question

已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B和∠C都为锐角，M为AB边上一动点（M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N．将△AMN沿MN折叠，使点A落在BC的下方．设MN=x，△A′MN与四边形BCNM重叠部分面积为y．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，重叠部分的面积y最大？最大值为多少？

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,二次函数的最值

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；首先求出△ABC的高；运用相似三角形的性质求出A′P（用x表示），进而求出△A′MN、△A′EF的面积，问题即可解决．
（2）借助二次函数的性质，直接求出y的最大值，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接AA′，分别交MN、EF于点P、Q；
则AA′⊥MN、PA′⊥EF；AP=A′P；
设PQ=λ，则AP=AQ-λ，A′Q=AQ-2λ；
∵MN∥BC，而AQ⊥MN，
∴AQ⊥BC；
∵面积为25，BC边的长为10，
∴

1

2

×10×AQ=25，AQ=5；
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴MN：BC=AP：AQ，即x：10=（5-λ）：5，
∴λ=5-

1

2

x，A′P=5-λ=

1

2

x；A′Q=x-5；
设△A′MN、△A′EF的面积分别为α、β、；
则α=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x2；
∵EF∥MN，
∴△A′EF∽△A′MN，
∴

β

α

=(

x-5

1 2 x

)2，
∴β=（x-5）²，
∴y=α-β=-

3

4

x2+10x-25．
（2）由（1）知：y=-

3

4

x2+10x-25，
∵a=-

3

4

＜0，
∴该函数图象开口向下，当x=-

10

2(- 3 4 )

=

20

3

，
y取得最大值，ymax=

4×(- 3 4 )•(-25)-102

4×(- 3 4 )

=

25

3

．

点评：该题主要考查了翻折变换及其性质的应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质准确找出图形中隐含的等量关系，灵活运用相似三角形的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．