Question

如图，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE=3，CF=4，试求EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，EG，易证△CDF≌△BDG，可得BG=CF=4，∠C=∠DBG，可证明∠ABG=90°，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF=EG，即可求得EF的长，即可解题．

解答：解：延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，EG，

∵在△CDF和△BDG中，

CD=BD ∠CDF=∠BDG DF=DG

，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG=CF=4，∠C=∠DBG，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBG+∠ABC=90°，即∠ABG=90°，
∵DE⊥FG，DF=DG，
∴EF=EG=

BG2+BE2

=5．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△CDF≌△BDG是解题的关键．