Question

如图，二次函数y=-x²+（1-2k）x+k+1的图象与x轴相交于点O，A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴的右边的图象上有一个点B1使得锐角三角形AOB的面积等于3，求点B的坐标．
（3）对于（2）中的点B，在抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据二次函数经过点O，即可求得k的值，即可解题；
（2）易求得该二次函数的对称轴，设点B（a，b），即可求得b的值，根据b的值即可求得a的值，即可解题；
（3）设符合题意的点P坐标为（m，n），易得∠AOB=45°，即可求得∠AOP=45°，可得m=-n，将点P代入即可求得m、n的值，即可解题．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+（1-2k）x+k+1的图象经过点O，
∴将O点代入得：k+1=0，
∴k=-1，
∴二次函数的解析式为y=-x²+3x；
（2）如图，在抛物线上找到点B，作BA⊥x轴，连接OB．

∵y=-x²+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

，
∴对称轴是直线x=

3

2

，令y=0，则-x²+3x=0，
∴x₁=-，x₂=3，
∴点A（3，0），
设点B（a，b），
∴

1

2

×3×|b|=3，
∴b=±2，
当b=-2时，△AOB是钝角三角形，不符合题意，舍去，
当b=2时，即2=-a²+3a，解得：a₁=1，a₂=2．
∵当a=1时，点B在对称轴左边，不符合题意，舍去，
∴a=2，
∴点B坐标为（2，2）；
（3）在抛物线上存在点P，使∠POB=90°，
设符合题意的点P坐标为（m，n）
∵B的坐标为（2，2），∴∠AOB=45°，
∴∠AOP=45°，且点P必在x轴的下方，
∴m=-n，
即-m²+3m=-m，解得：m₁=0，（舍去），m₂=4，
故点P坐标为（4，-4）．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，考查了三角形面积计算，考查了一元二次方程的求解，本题中求得点B的值是解题的关键．