Question

【题目】如1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为AD上一点且AE＝6，连接BE．

（1）将△ABE绕点B逆时针旋转90°至△ABF（如图2），且A、B、C三点共线，再将△ABF沿射线BC方向平移，平移速度为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t≥0），当点A与点C重合时运动停止．

①在平移过程中，当点F与点E重合时，t＝　 　（s）．

②在平移过程中，△ABF与四边形BCDE重叠部分面积记为S，求s与t的关系式．

（2）如图3，点M为直线BE上一点，直线BC上有一个动点P，连接DM、PM、DP，且EM＝5，试问：是否存在点P，使得△DMP为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①6；②S＝；

（2）存在， 10﹣或10+或﹣1或+1或 ．

【解析】

（1）①如图1中，连接EF．求出EF的长即可解决问题．

②分三种情形：如图2﹣1中，当0＜t≤6时，重叠部分是△BMB′．如图2﹣2中，当6＜t≤10时，重叠部分是△AFB′．如图2﹣3中，当10＜t≤16时，重叠部分是△AMC，分别求解即可．

（2）分三种情形：DM＝DP，DM＝PM，PM＝PD，分别求解即可．

解：（1）①如图1中，连接EF．

由题意EF＝AB＝BF＝6，

∴t＝6时，点F与点E重合，

故答案为6．

②如图2﹣1中，当0＜t≤6时，重叠部分是△BMB′，

BB’=MB’=t，

S＝t2．

如图2﹣2中，当6＜t≤10时，重叠部分是△AFB′，

AB’=FB’=6

S＝×6×6＝18．

如图2﹣3中，当10＜t≤16时，重叠部分是△AMC，

AC=MC=16-t，

S＝（16﹣t）2，

综上所述，S＝．

（2）如图3中，总MH⊥AD于H，交BC于G．

∵AB＝AE＝6，∠A＝90°，

∴BE＝6，

∵EM＝5，

∴BM＝，

∴BG＝MG＝AH＝1，HM＝HE＝5，DH＝AD﹣AH＝9，

∴DM＝，

当DM＝DP时，可得CP1＝CP2＝，

∴BP1＝10﹣，BP2＝10+．

当MD＝MP时，可得GP3＝GP4＝，

∴BP3＝﹣1，BP4＝+1，

当PM＝PD时，设GP5＝x，则，

解得x＝，

∴BP5＝1+＝．