Question

【题目】如图，已知等腰中，，，是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是___________.

Answer 1

【答案】，，

【解析】

分三种情况：DE=DF,EF=ED,EF=FD,进行讨论即可.

解：由折叠可知：∠B=∠ADE, ∠C=∠ADF,AB=AD=5,AC=AD=5,BE=ED,DF=FC

过A作AM⊥BC于M

∵AB=AC

∴BM=CM=BC=4，∠B=∠C

∴∠B=∠ADE=∠C=∠ADF

由勾股定理可知:

当DE=DF=a时，

则BE=ED=DF=FC=a，EM=BM-BE=4-x

∵∠ADE=∠ADF

∴AD⊥BC

又∵AM⊥BC

∴A、M、D三点共线，∠EMD=90°

∴DM=AD-AM=5-3=2

在Rt△EMD中：

∴

解得：

当DE=EF时，

∵BE=ED

∴BE=EF

连接BD,延长AE交BD于G

∵AB=AD,BE=ED

∴AG垂直平分BD

∴BG=DG

设EM=b则BE=EF=4-b

∴FC=8-(8-2b)=2b

∴FD=FC=2b

在△BMD中: BG=DG，BE=EF

∴EG是△BMD的中位线

∴

∴GE=EM=b

∵∠BME=∠AHE=90°，∠BEG=∠AEM

∴

∴BG=AM=3

在Rt△BEG中:

∴

∴

∴BE=4-

当DF=EF时，

∵CF=DF

∴CF=EF

连接CD,延长AF交CD于H

∵AC=AD,DF=FC

∴AH垂直平分CD

∴DH=CH

设FM=c则FC=FD=4-c

∴BE=8-(8-2c)=2c

∴BE=ED=2c

在△ECD中: EF=FC，DH=HC

∴FH是△ECD的中位线

∴

∴FH=FM=c

∵∠AMF=∠CHF=90°，∠AFM=∠CFH

∴

∴CH=AM=3

在Rt△FCH中:

∴

∴

∴BE=

故答案为：，，