Question

【题目】在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：

如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，．

求证：．

小聪同学发现以下两种方法：

方法1：如图②，延长、交于点．

方法2：如图③，在上取一点，使，连接、．

（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；

（2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：．

　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，根据三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据线段的和差即可得证；

方法2：先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得，最后根据平行线的性质、平角的定义可得，由等腰三角形的定义可得，由此根据线段的和差即可得证；

（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出平分，从而有，再根据平行线的性质、角的和差得出，，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．

（1）方法1：如图②，延长、交于点

是的平分线

是边的中点

在和中，

；

方法2：如图③，在上取一点，使，连接、

是的平分线

在和中，

是边的中点

，即

，即

又

；

（2）如图，过点C作，交AE延长线于点G，延长GC交AB于点F，连接EF

由方法1可知：

是等腰三角形

平分

，

，即

在和中，

．