【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且满足,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点,交AF的延长线于E点.
(1)求证:AE⊥DE;
(2)若∠CBA=60°,AE=3,求AF的长.
【答案】(1)见解析;(2)AF=2
【解析】
(1)首先连接OC,由OC=OA,=,易证得OC∥AE,又由DE切⊙O于点C,易证得AE⊥DE;
(2)由AB是⊙O的直径,可得△ABC是直角三角形,易得△AEC为直角三角形,根据AE=3求得AC的长,然后连接OF,可得△OAF为等边三角形,知AF=OA=AB,在△ACB中,利用已知条件求得答案.
(1)证明:连接OC,
∵OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA,
∵=,
∴∠BAC=∠EAC,
∴∠EAC=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵DE切⊙O于点C,
∴OC⊥DE,
∴AE⊥DE;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,
∴△ABC是直角三角形,
∵∠CBA=60°,
∴∠BAC=∠EAC=30°,
∵△AEC为直角三角形,AE=3,
∴AC=2,
连接OF,
∵OF=OA,∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°,
∴△OAF为等边三角形,
∴AF=OA=AB,
在Rt△ACB中,AC=2,∠CBA=60°,
∴AB===4,
∴AF=2.
故答案为:(1)证明见解析;(2)2.
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【题目】已知,数轴上三个点A、O、P,点O是原点,固定不动,点A和B可以移动,点A表示的数为,点B表示的数为.
(1)若A、B移动到如图所示位置,计算的值.
(2)在(1)的情况下,B点不动,点A向左移动3个单位长,写出A点对应的数,并计算.
(3)在(1)的情况下,点A不动,点B向右移动15.3个单位长,此时比大多少?请列式计算.
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【题目】将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与点A重合,点D落到D’处,折痕为EF.
(1)、求证:△ABE≌△AD’F;
(2)、连接CF,判断四边形AECF是否为平行四边形?请证明你的结论。
(3)、若AE=5,求四边形AECF的周长。
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【题目】定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长.
②若AC⊥BD,求证:AD=CD;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形,求AE的长.
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【题目】如图1,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(﹣3,1),B(﹣1,﹣1),C(﹣2,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标;
(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)请在图中,画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在图中y轴右侧,画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【题目】小张骑自行车匀速从甲地到乙地,在途中因故停留了一段时间后,仍按原速骑行,小李骑摩托车比小张晚出发一段时间,以800米/分的速度匀速从乙地到甲地,两人距离乙地的路程y(米)与小张出发后的时间x(分)之间的函数图象如图所示.
(1)求小张骑自行车的速度;
(2)求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式;
(3)求小张与小李相遇时x的值.
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【题目】已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A,顶点为B,对称轴与x轴的交点为C,点A与点D关于对称轴对称,直线BD与x轴交于点M,直线AB与直线OD交于点N.
(1)求点D的坐标.
(2)求点M的坐标(用含a的代数式表示).
(3)当点N在第一象限,且∠OMB=∠ONA时,求a的值.
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【题目】如图,在菱形中,,按以下步骤作图:①分别以点和点为圆心,为圆心,大于号的长为半径面狐,两弧交于点,:②做直线,且恰好经过点,与交于点,连接,则的值为( )
A. B. C. D.
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