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【题目】已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2y轴的交点为A,顶点为B,对称轴与x轴的交点为C,点A与点D关于对称轴对称,直线BDx轴交于点M,直线AB与直线OD交于点N

(1)求点D的坐标.

(2)求点M的坐标(用含a的代数式表示).

(3)当点N在第一象限,且∠OMB=ONA时,求a的值.

【答案】1D2,2);(2;(3

【解析】

(1)x=0求出A的坐标,根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B的坐标、对称轴直线,根据点A与点D关于对称轴对称,确定D点坐标.

(2)根据点BD的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式,令y=0,即可求得M点的坐标.

3)根据点AB的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式,求直线OD的解析式,进而求出交点N的坐标,得到ON的长.A点作AEOD,可证△AOE为等腰直角三角形,根据OA=2,可求得AEOE的长,表示出EN的长.根据tanOMB=tanONA,得到比例式,代入数值即可求得a的值.

1)当x=0时,

A点的坐标为(0,2

∴顶点B的坐标为:(1,2-a),对称轴为x= 1

∵点A与点D关于对称轴对称

D点的坐标为:(22

2)设直线BD的解析式为:y=kx+b

B1,2-aD22)代入得:

,解得:

∴直线BD的解析式为:y=ax+2-2a

y=0时,ax+2-2a=0,解得:x=

M点的坐标为:

3)由D(22)可得:直线OD解析式为:y=x

设直线AB的解析式为y=mx+n,代入A(02)B1,2-a)可得:

解得:

∴直线AB的解析式为y= -ax+2

联立成方程组: ,解得:

N点的坐标为:(

ON=

A点作AEODE点,则△AOE为等腰直角三角形.

OA=2

OE=AE=EN=ON-OE=-=)

MC(1,0) B1,2-a

MC=BE=2-a

∵∠OMB=ONA

tanOMB=tanONA

,即

解得:a=

∵抛物线开口向下,故a<0

a=舍去,

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