【题目】已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A,顶点为B,对称轴与x轴的交点为C,点A与点D关于对称轴对称,直线BD与x轴交于点M,直线AB与直线OD交于点N.
(1)求点D的坐标.
(2)求点M的坐标(用含a的代数式表示).
(3)当点N在第一象限,且∠OMB=∠ONA时,求a的值.
【答案】(1)D(2,2);(2);(3)
【解析】
(1)令x=0求出A的坐标,根据顶点坐标公式或配方法求出顶点B的坐标、对称轴直线,根据点A与点D关于对称轴对称,确定D点坐标.
(2)根据点B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式,令y=0,即可求得M点的坐标.
(3)根据点A、B的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式,求直线OD的解析式,进而求出交点N的坐标,得到ON的长.过A点作AE⊥OD,可证△AOE为等腰直角三角形,根据OA=2,可求得AE、OE的长,表示出EN的长.根据tan∠OMB=tan∠ONA,得到比例式,代入数值即可求得a的值.
(1)当x=0时,,
∴A点的坐标为(0,2)
∵
∴顶点B的坐标为:(1,2-a),对称轴为x= 1,
∵点A与点D关于对称轴对称
∴D点的坐标为:(2,2)
(2)设直线BD的解析式为:y=kx+b
把B(1,2-a)D(2,2)代入得:
,解得:
∴直线BD的解析式为:y=ax+2-2a
当y=0时,ax+2-2a=0,解得:x=
∴M点的坐标为:
(3)由D(2,2)可得:直线OD解析式为:y=x
设直线AB的解析式为y=mx+n,代入A(0,2)B(1,2-a)可得:
解得:
∴直线AB的解析式为y= -ax+2
联立成方程组: ,解得:
∴N点的坐标为:()
ON=()
过A点作AE⊥OD于E点,则△AOE为等腰直角三角形.
∵OA=2
∴OE=AE=,EN=ON-OE=()-=)
∵M,C(1,0), B(1,2-a)
∴MC=,BE=2-a
∵∠OMB=∠ONA
∴tan∠OMB=tan∠ONA
∴,即
解得:a=或
∵抛物线开口向下,故a<0,
∴ a=舍去,
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【题目】如图,已知四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,F是BC的中点,AF与DE相交于G,BD和AF相交于H,那么四边形BEGH的面积是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且满足,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点,交AF的延长线于E点.
(1)求证:AE⊥DE;
(2)若∠CBA=60°,AE=3,求AF的长.
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【题目】如图,二次函数y=x2+bx+c(c≠0)的图象经过点A(-2,m)(m<0),与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),AB//x轴,且AB:OB=2:3.
(1)求m的值;
(2)求二次函数的解析式;
(3)在线段BC上是否存在点P,使ΔPOC为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC绕点B顺时针旋转,使点A旋转至y轴的正半轴上的点A′处,若AO=OB=2,则阴影部分面积为( )
A. πB. π﹣1C. +1D.
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【题目】利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统,图2是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为,,,,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是( )
A. B. C. D.
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【题目】已知,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,在CD的延长线上取一点P,PG与⊙O相切于点G,连接AG交CD于点F.
(Ⅰ)如图①,若∠A=20°,求∠GFP和∠AGP的大小;
(Ⅱ)如图②,若E为半径OA的中点,DG∥AB,且OA=2,求PF的长.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,AB=4,点P为线段AB上一动点,过点P作PE⊥AB交直线AD于点E,将∠A沿PE折叠,点A落在F处,连接DF,CF,当ΔCDF为直角三角形时,线段AP的长为__________.
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